假定某经济主体在期初将其全部的收入所得以债券的形式持有，每次需要使用现金时取出兑换为现金。假定市场利率为，每次买卖债券的jiāo易成本为。可得：

    收入所得期内套现次数为：；

    收入所得期内套现的jiāo易成本为：

    收入所得期内平均现金余额为：

    以现金形式持有jiāo易xìng余额的机会成本为：

    设为持有现金的总成本，它包括jiāo易成本和机会成本，则：

    （9）

    于是问题转化为如何找到一个适当的值，使得的值最小，式（9）对求导，得：

    （10）

    令,

    求得：,这就是使总成本最小的值。

    又因为在收入所得期内所持有的平均现金余额为，因而jiāo易xìng货币需求的最适量为：

    如果令，则：

    （11）

    这就是著名的“平方根公式”。对这一公式我们可简要分析如下：①

    （1）佣金费用的存在是jiāo易xìng货币需求存在的前提条件，如果,则jiāo易xìng货币需求也就等于零，因为债券兑换成现金并不需要花费任何成本，因而完全没有必要将货币保留在手边，而丧失了投资债券生息的机会。

    （2）jiāo易xìng货币需求并不与jiāo易总额(此处等同于总收入)同比例地增长。从(11)式可以看出，jiāo易xìng货币需求的收入弹xìng只有0.5。也就是说，jiāo易总额增长1%，对货币量的需求只增长0.5%，货币需求的增长将低于jiāo易总额的增长幅度。表明持有现金作为jiāo易目的具有“规模经济”的效应。

    （3）将利率弹xìng引入jiāo易xìng货币需求，丰富和发展了凯恩斯的货币需求理论。“平方根公式”第一次将利率分析引入货币的jiāo易需求，明确指出，即使是纯粹作为jiāo易工具而持有货币，也会蒙受利息机会成本，因而对货币的jiāo易需求与利率呈反方向的变动。利率越高，手持货币的利息机会成本越高，因而决策单位都会自动降低对货币的需求，以使其持有货币的机会成本降至最低点。反之，利率降低，对货币的jiāo易需求会提高。

    9.4.2预防xìng货币需求的发展：

    如前所述，凯恩斯认为，人们出于预防动机而产生的货币需求与出于jiāo易动机而产生的货币需求一样，其大小主要取决于收入水平，而不受利率变动的影响。在凯恩斯提出这一观点后，西方经济学界对其提出了质疑。美国经济学家惠lún和奥尔等先后发表文章提出了预防xìng货币需求与利率变动有关的观点，并论证了二者呈反向相关的关系。

    1966年，美国经济学家惠lún(Whalen)发表了一篇名为《现金的预防需求的合理化》的论文，论证了预防动机的货币需求也同样与利率是负相关的。

    惠lún认为，与jiāo易xìng货币需求以收入和支出为既定的前提条件相反，预防xìng货币来自事物的不确定xìng。人们无法保证他们在某一时期的货币收入和货币支出与事前预料的完全一致，这就不能排除实际支出超过实际收入，或发生意外情况，临时需要现金的可能，持有预防xìng货币余额的本质，是为了防备不确定事项，应付各种意外的支付，因而在某些时候也许就不会加以动用。在这种时候，持有货币除了蒙受利息机会成本外，不可能获得任何收益。然而，持有的预防xìng货币余额也许在另外的时候会全部动用，如果这样，则为持有者赢得了盈利的机会，节约了因未持有现金而必须承担的jiāo易成本。

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